第二章　逻辑代数基础(Logic Base)

三、标准形式逻辑函数

逻辑函数的一般表示形式

1.与或表达式（SOP form)

　　在函数表达式中，包含若干个与项，每个与项中各变量以原变量或反变量的形式出现，每个与项之间以或的形式相连，这种表达式即与或表达式。如：

2.或与表达式(POS form)

　　一个函数表达式，包含若干个或项，其中每个或项可有一个或多个变量，每个变量以原变量或反变量形式出现，这些或项以逻辑与的形式连在一起，形成了或与表达式。如：

逻辑函数的标准与或表达式

1.最小项的定义

　　最小项又称为标准与项。是指该与项中包含自变量的所有变量，每个变量且仅出现一次，其可以是原变量形式也可以是反变量的形式，该与项就是最小项。对于n个自变量的函数其最多有2ⁿ个最小项。
　　为什么称该与项为最小项呢？下表列出了3变量的逻辑函数，其共有8个最小项，在自变量的8种取值的组合中，任一最小项为1的机会仅一次，其余皆为0，故称其为最小项。

　　上表中列出了3变量的逻辑函数的最小项，但其在书写时比较麻烦，通常使用简化的表示方法，用m₀,m₁,m₂,m₃,m₄,m₅,m₆,m₇分别表示： 。m的下标实际上是该与项将其原变量用1、反变量用0代入，将其对应的二进制数转换为十进制数得到的。至于四变量、五变量或二变量的最小项同理可得。

2.最小项表达式

　　最小项表达式就是指构成逻辑函数的与或表达式中每个与项都由最小项式，那么如何得到最小项表达式，通常有两种情况得到：一种是由一般与或表达式得到最小项表达式；另一种是由真值表得到。
　　(1)一般与或表达式得到最小项表达式
　　从一般与或表达式得到最小项表达式只须将每个与项乘上未出现的变量的原变量与反变量和的形式，展开后即得到最小项表达式。
　　例　写出F=AB+BC+AC的最小项表达式。

　　(2)由真值表得到最小项表达式
　　由真值表得到最小项表达式只须首先找出使逻辑函数F为1的变量组合项的最小项，再将这些最小项相或，即得到标准与或表达式（或最小项表达式）。
　　例　写出下真值表对应的最小项表达式。

　　从上表可写出该真值表对应的最小项表达式为：

F(A,B,C)=m₀+m₁+m₄+m₅+m₆=∑m(0,1,4,5,6)

逻辑函数的标准或与表达式

1.最大项的定义

　　最大项又称为标准或项。是指该或项中包含自变量的所有变量，每个变量且仅出现一次，其可以是原变量形式也可以是反变量的形式，该或项就是最大项。对于n个自变量的函数最多其有2ⁿ个最大项。
　　为什么称该或项为最大项呢？下表列出了3变量的逻辑函数，其共有8个最大项，在自变量的8种取值的组合中，任一最大项为0的机会仅一次，其余皆为1，故称其为最大项。

　　下面通过一个例子来说明最大项与最小项之间的关系。
　　例　写出函数F(A,B,C)=∑m(1,3,6,7)的最大项。

　　我们将上例子用真值表的形式写出来，你会得出什么样的结论呢？

2.最大项表达式

　　通过下面例子可以知道如何写出函数的最大项表达式。
　　例 已知函数F(A,B,C)=AB+BC,试写出其最大项表达式。　
　　从上表可以看出，只须将该函数的真值表列出，将F为0对应的最大项写出来即可以了。

　　由真值表可写出该函数的最大项表达式为：

F(A,B,C)=∏M(0,1,2,4,5)